不动点定理-不动点定理证明

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原创，时间：2022-12-12 15:11:08

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关于不动点定理内容导航：

• 1、不动点定理
• 2、不动点定理证明
• 3、不动点定理数列

1、不动点定理

度量空间(M,d)上的压缩映射，或压缩，是一个从M到它本身的函数f，存在某个实数，使得对于所有M内的x和y，都有：满足以上条件的最小的k称为f的利普希茨常数。压缩映射有时称为利普希茨映射。如果以上的条件对于所有的都满足，则该映射称为非膨胀的。 更一般地，压缩映射的想法可以定义于两个度量空间之间的映射。如果(M,d)和(N,d')是两个度量空间，则我们寻找常数k，使得对于所有M内的x和y。 每一个压缩映射都是利普希茨连续的，因此是一致连续的。 一个压缩映射最多有一个不动点。另外，巴拿赫不动点定理说明，非空的完备度量空间上的每一个压缩映射都有唯一的不动点，且对于M内的任何x，迭代函数序列x，f (x)，f (f (x))，f (f (f (x)))，……收敛于不动点。这个概念在迭代函数系统中是非常有用的，其中通常要利用压缩映射。巴拿赫不动点定理也用来证明常微分方程的解的存在，以及证明反函数定理。

2、不动点定理证明

Heine-Borel定理：在 Rn 内,一个集合是紧集当且仅当它是闭且有界的某度量空间（metr计践责坚府向啊秋却ic space）的一个文张且飞读几话挥述子集S是紧集,如果对于任意由其元素组成的序列{X1,X2,倍…},总能在该序列中抽取一个收敛于S中某元素的子序列

3、不动点定理数列

这好像是我在高中的时候学过的一点东西，现在也记得不大清楚了。但是不动点就是满足F（x）= x的点。可以理解为图像y=F（x）与图像Y=x的交点。这样或许更好理解。不知道这是不是你要的答案。如果不是，可以追问。谢谢！


通过具体找到这个点，就能说明这个问题了吧？如何找这个点？
纸被揉成球以后，看它现在投到纸盒底部的影子。纸盒底部的影子区域肯定比纸盒底要小。那么，就取【纸盒底部的在影子内的那个部分】，它肯定对应于纸团里面的某一小团部分。（因为整个底板对应于整个纸团，那么地板的一部分就肯定对应于一部分纸团）
假如去掉纸团的其他部分，那一小团部分同样可以在纸盒底面投影，而且投影肯定比刚才的大投影小，而且在它之内。（因为它是在整个纸团之内）。那么，取这一小片投影（注意这片影子肯定是连续的不会断开，因为纸没有撕裂），当它再往纸团里对应的时候，肯定对应于其中更小的一团。我们再次把多余的纸去掉。

就是说：
整个纸盒对应于纸团
纸盒【在纸团投影内的部分】对应于纸团内的一小块
纸盒【一小块的投影的部分】对应于刚才那一小块内的更小一块
纸盒【更小块投影的部分】对应于更小块中的更更小一块
…………………………
不断地去掉纸无限次，最后纸团只剩下了一个点，它的投影就对应于纸盒的一个点

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