棣莫弗公式-复数的棣莫弗公式

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原创，时间：2022-12-27 04:55:07

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关于棣莫弗公式内容导航：

• 1、棣莫弗公式
• 2、棣莫弗公式推导3倍角公式
• 3、复数的棣莫弗公式

1、棣莫弗公式

设复数z＝r(cosa＋isina),r>0,n∈N﹢.则z^n＝r^n﹙cosna＋isinna﹚被称之为棣莫弗公式.
我们用数学归纳法来证明。（注意，我们要用i²＝－1这个基本定义


根据两复数相乘的公式，设Z=r(cos
x+isin
x),Z'=r'(cos
x'+isin
x')
　　则Z*Z'=rr'(cos
(x+x')+isin
(x+x'))
　　令Z=Z'，得Z^2=r^2(cos
2x+isin
2x)
　　继续用Z乘这个式子，得Z^3=r^2(cos
3x+isin
3x)
设当n=k－1时，有Z^n=r^(k－1)(cos
(k－1)x+isin(k－1)x)
则n=k时
Z^n=r^(k－1)(cos
(k－1)x+isin(k－1)x)×r(cos
x+isin
x)
=r^k[cos
(k－1)xcos
x－sin(k－1)xsin
x＋i﹙sin(k－1)xcos
x＋sin
xcos
(k－1)x﹚]
=r^k(cos
kx+isinkx),也成立
∴n∈N，Z^n=r^n(cos
nx+isin
nx)
或者不用数学归纳法，可以这样证明：
引入欧拉公式：e^ix
=
cosx
+
isinx
　　将e^t，sint
，
cost
分别展开为泰勒级数：
　　e^t
=
1
+
t
+
t^2/2!
+
t^3/3!
+
……
+
t^n/n！+
……
　　sint
=
t
-
t^3/3!+t^5/5!-t^7/7!+……-……
　　cost
=
1
-
t^2/2!+t^4/4!-t^6/6!+……-……
　　将t
=
ix
代入以上三式
，可得欧拉公式
　　应用欧拉公式，（cosx＋isinx）^n
=
(e^ix)n
　　=e^inx
　　=cos(nx)+isin(nx) （推荐答案！）

2、棣莫弗公式推导3倍角公式

发哥 棣莫弗定理 复数 秒杀 oh yeah

3、复数的棣莫弗公式

棣莫弗定理 复数
由复三角旋量得 （cosa+isinb）^5次方=（cosna+isinnb）
左右实部与虚部相等
再由二项式定理展开即得。
sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA
cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA
tan5A=tanA*（5-10*tanA^2+tanA^4）/（1-10*tanA^2+5*tanA^4）
说白了就是个算二项式。
n倍角公式依次类推，亦可数学归纳法。

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