二次曲线-二次曲线的一般方程

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原创，时间：2023-01-30 01:00:10

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关于二次曲线内容导航：

• 1、二次曲线
• 2、二次曲线的一般方程
• 3、二次曲线的种类有哪些

1、二次曲线

2、二次曲线的一般方程

圆锥曲线是二次曲线，教材上的圆锥曲线方程，只是标准方程。

二次曲线的一般方程是：Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0

这个方程表示什么呢？——表示所有的二次曲线，包括圆、椭圆、双曲线、抛物线、点、双直线图形和无轨迹。这些图形可以是任意平移旋转过的。

如果给定方程Ax^2+By^2+Cx超练操完处y+Dx+Ey+F=0，要判断曲线类型，这时候直接看是不容易看出来的，就需要做一些处理。

（1）先配案虽更考虑退化的曲线——双直线和点，当且仅当行列式Det3=

|A C/2 D/2|

|C/2 B E/2 | = 0 时,

|D/2 E/2 F |

二次曲线是退化的。这时，如果det2=AB-C^2/4=0则是椭圆退化成了一点；如果不等于0，就是直线。

如果是直线，先把A化成正的，

①平行或重合直线，由(ax座国贵讲船军煤学+by+c)(ax+by滑评山利+d)=0展开对比得，AB是同号的。

当D/E程马宜乐绝何激久接距=√(A/B)或者是D√B=E√A，且C=2√(AB)时，两直线斜率一紧木绿二章笔手样，此时，若2F=D/√A或2F=E/√B，则重合，否则平行。如果要求直线，则a=√A，b=√B，c+d=D脚重孙抓甚心/√A=E/√B，cd=F

②相交直线，不符合①的双直日线就是相交直线，如果A=-B，则分解因式验证其是否垂直。

（2）对于非退化的二次曲线，Det3≠0，这时看

Det2=

|A C/2|

|C/2 B |

即Det2守=AB-C^2/4

Det2>0，椭圆，如果A=B则是圆；如果Det1施育杨=A+B>0（先把A化成正的）、且Det3>0，则是无轨迹终干已少害际谈的图形(不算退化)。

Det2<0，双曲线；

Det2接某扩准位=0，抛物线。

再说一下退化，对于标准形式，

椭圆尼品剂争又左右各除以无穷大，就有x^2/a^2+y^2/b^2=0，就退化成了一点。

双曲线退化，x^2/运星何演情a^2-y^2/b^2=良自树雨明0，退化为相交双直线，也就是本独装案放她的渐近线。

抛物线退化，y^2=a，退化成了平行或重合的双直线。

三种曲线和他们的退化形式，经过旋转和平移，上文Det1、Det2、Det3的符号特征是不变的，所以可以这样判断，这三个值，称为二次曲线的不变量。

3、二次曲线的种类有哪些

二次曲线一般指圆锥曲线，是由一平面截二次锥面得到的曲线。圆锥曲线包括椭圆（圆为椭圆的特例）、抛物线、双曲线。起源于2000多年前的古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线。
圆锥曲线（二次曲线）的（不完整）统一定义：到平面内一定点的距离r与到定直线的距离d之比是常数e=r/d的点的轨迹叫做圆锥曲线。其中当e>1时，为双曲线，当e=1时，为抛物线，当0椭圆。



其起源：
2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果。古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。
用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行于圆锥的轴的平面截取，可得到双曲线的一支（把圆锥面换成相应的二次锥面时,则可得到双曲线）。
阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。


二次曲线
　　二次曲线
　　second-degree curve
　　平面直角坐标系中x，y的二次方程所表示的图形的统称。常见的二次曲线有圆、椭圆、双曲线和抛物线。因为它们可以用不同位置的平面截割直圆锥面而得到（见图），因此又称为圆锥截线。特殊情形时，二次方程可以分解为两个一次方程的乘积，这时，二次曲线就退化为两条直线，或者是两条相交直线，或者是两条平行直线，或者是两条重合直线，也包括两条共轭虚直线或者两条平行虚直线的情形。例如二次方程x2－y2＝0就表示两条相交直线x＋y＝0及x－y＝0；x2＋y2＝0就表示两条共轭虚直线（或说表示一个点）。通过对二次方程进行的讨论，可以将二次曲线分为三大类型：椭圆型，双曲型和抛物型。再细分，即可得上面提到的各种曲线，也包括退化成直线的情形，共有9种。圆作为椭圆的特殊情形包括在椭圆之中，而不单独算一种。通过坐标轴的适当的平移和旋转，可以把任意一个二元二次方程化简，从而区别出它表示9种曲线中的哪一种。也可以通过不变量由二次曲线方程的系数，直接判定它表示的曲线的种类。所谓不变量，是指方程的系数间的一个代数式，它的值不因坐标系的平移和旋转而改变。还可以通过二次曲线的方程，来讨论二次曲线的中心，直径和共轨直径，对称轴及渐近线等有关几何事项
就一方程的为未知数的系数为2的图像咯，如果是3的话，就是三次了

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