测度论 测度论与概率论基础
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测度论，测度论讲的是什么，测度论与实分析基础
关于测度论内容导航：
- 1、测度论
- 2、测度论与概率论基础
- 3、测度论和概率论的关系
1、测度论
纵观勒贝格积分和勒贝格－斯蒂尔杰斯积分理论，不难发现它们都有三个基本要素。
第一，一个基本空间（即n维欧几里得空间R）以及这个空间的某些子集构成的集类即L（勒贝格）可测集或某L－S（勒贝格-斯蒂尔杰斯）可测集全体，这个集类对集的代数运算和极限运算封闭。
第二，一个与这个集类有关的函数类（即L可测函数或某L-S可测函数全体）。
第三，一个与上述集类有关的测度（即L测度或某L-S测度）。
在三个要素的基础上，它们都是运用完全类似的定义和推理过程获得完全类似的一整套测度、可测函数、积分的定理（见勒贝格积分、贝尔函数）。测度论正是基于这些基本共同点所形成一般理论。 对于更一般的集合，我们能不能定义测度呢？ 比如直线上所有有理数构成的集合，它的测度怎么衡量呢？
一个简单的办法， 就是先在每个有理点上找一个开区间覆盖它，就好比给它带个“帽子”。因为有理数集是可列集（就是可以像排自然一样排好队，一个个数出来，也叫可数集，见集合论），所以我们可以让第n个有理数上盖的开区间长度是第一个有理数（比方是1）上盖的开区间长度的2^n分之一。 这样所有那些开区间的长度之和是个有限值（就是1上的开区间长度的2倍）。
我们让1上的开区间逐渐缩小趋向于一个点，那么所有区间的总长度也相应缩小，趋向于长度0。 这样我们就说有理数集的测度是0。 用上面这种方法定义的测度也叫外测度。
一个几何区域有了测度，我们就可以定义上面的函数的积分，这是推广的黎曼积分。
比如实数上的狄利克雷函数D(x)=1(如果x是有理数)，0（如果x是无理数）。 如果按照通常的理解，我们发现狄利克雷函数在整个数轴上的定积分不存在；但是按照上面讲的有理数的测度，我们就可以求出它的定积分是0。
实直线上的测度如下给出：
设E是实数集，考虑可数个区间(aj,bj)满足对任何x∈E,都有某个j,使得x∈(aj,bj);考虑所有情形下和(b1-a1)+(b2-a2)+..的下确界称为E的外测度
如果对任何集合F都有E∩F和F\E的外测度之和等于F的外测度，称E可测，定义其测度等于外测度
直观含义上面已经解释过了 测度的相关数学定义：
集函数：设Ψ是上的非空集合类。若对于每一个A∈Ψ,都有一个实数或者±∞之一与之对应(为确定起见，下面假定只取+∞)，记为φ(A)，且至少有一个A∈Ψ,使得φ(A)取有限值，称φ(A)为定义在Ψ上的集函数。
(1)若对任意的正整数n以及任意的Ai∈Ψ，i=1，2……，n，Ai∩Aj=Ø(i≠j)，且(A1∪A2∪…Ai∪…An)∈Ψ，有
φ(A1∪A2∪…Ai∪…An)=∑[φ(A1)∪φ(A2)∪…φ(Ai)∪…φ(An)]，
则称φ在Ψ上具有有限可加性，也称φ是Ψ上的有限可加集函数。
(2)若对可列集的Ai∈Ψ，i=1，2……，n，Ai∩Aj=Ø(i≠j)，且(A1∪A2∪…Ai∪…A∞)∈Ψ，有
φ(A1∪A2∪…Ai∪…A∞)=∑[φ(A1)∪φ(A2)∪…φ(Ai)∪…φ(A∞)]，
则称φ在Ψ上具有完全可加性或者б-可加性，也称φ是Ψ上的б-可加集函数或者广义测度。
(3)若对每一个A∈Ψ，φ(A)都取有限值，则称φ为上的有限集函数。如果对每一个A∈Ψ，存在一个集合序列⊂Ψ，使得
A⊂(A1∪A2∪…Ai∪…A∞)，φ(An)<+∞，n=1，2，……
则称φ是Ψ上的б-有限集函数。
(4)若集函数为有限可加且只取非负值则称为有限可加测度。若集函数为б-可加，且只取非负值，则称为测度，用μ或ν表示。具有性质Ω∈Ψ且ν(Ω)=1的测度，称为概率测度或者简称概率，一般用P表示。
2、测度论与概率论基础
他们试图将概率引入数学的范畴。
之前的朋友说的也有对的地方，就是kolmogorov建立了概率的理论基础，现代概率论更像是测度论统计是以概率论为基础发展出来的一门新生科学，当然也不是那么新了，只是相对于数学的很多领域来说比较新。早在16世纪之前，属于理论数学范畴。另外，不过其实是概率论的数学理论基础，就有很多人研究概率，也就是一帮子赌徒研究db的问题，当时的理解叫做gamble theory，db理论，是看不起统计的，我们通常学的和用的，因为它并不是那么纯粹的数学.然后引起了数学家的注意。所以，在很多理论数学家眼里，并不是大家理解的那种，比如掷筛子，就属于gamble theory，都属于经典概率论，跟现代概率论是不一样的。统计主要是帮助人们处理数据的一种思想和方法，它是以概率论为基础的。
3、测度论和概率论的关系
现代概率论以实变函数的理论（测度论、L积分)为基础
研究概率统计的话，需要扎实的测度论作基础，
金融工程学测度论是为了更好地理解随机过程、鞅等高等概率知识，
不做研究，可以适当降低要求，
实变函数的基础也是测度，不过是为了学习现代分析（泛函分析、调和分析、几何分析等等），跟概率关系不是很多